Tipos de modelos matemáticos

Este post faz parte da série Modelagem matemática de baterias. Leia também os outros posts da série:

Conforme detalhado no artigo anterior, existem diversos tipos de modelos matemáticos onde o melhor modelo para sua aplicação, deve ser definido de acordo com cada projeto e objetivo. Minha intenção no artigo de hoje, é passar uma visão geral sobre as principais estratégias utilizadas na literatura para representar a dinâmica de uma bateria. Os modelos matemáticos que falarei nesse artigo, estão apresentados na figura 1.

Tipos de modelos matemáticos para bateria
Figura 1 – Diagrama dos diferentes tipos de modelos matemáticos da bateria.

Modelos eletroquímicos

Os modelos matemáticos eletroquímicos consideram os processos químicos que ocorrem no interior das células. Um dos modelos eletroquímicos mais precisos é composto por um sistema de 6 Equações Diferenciais Parciais (EDP) não lineares. O resultado dessas equações fornece: a tensão, a corrente, as fases de potencial no interior do eletrólito e eletrodo, a concentração salina, a taxa de reação e a densidade de corrente no eletrólito. Geralmente, esse tipo de modelo é preciso, porém, sua implementação é complexa.

Modelos elétricos

Modelos de circuitos equivalentes, ou modelos elétricos, descrevem a bateria na forma de circuito. Para isso, são utilizadas a combinação de componentes elétricos como fontes, resistores, capacitores e indutores.

Um dos primeiros modelos elétricos que foi desenvolvido, era utilizado para simular baterias de níquel-cádmio, chumbo-ácido e baterias alcalinas. De uma forma geral, o modelo possui um capacitor que representa a capacidade da bateria, uma taxa de descarga que determina a perda de capacidade em altas correntes, um circuito para o consumo da capacidade da bateria, uma tabela de pesquisa da tensão por estado da carga e um resistor que representa a resistência interna da bateria.

Na maioria dos casos, a simulação de um modelo elétrico é de fácil compreensão, e em geral, esses modelo também consideram o efeito de recuperação presente na bateria. O processo de recuperação da bateria foi detalhado em artigos anteriores. Caso queira entender um pouco mais sobre esse e outros processos que ocorrem na bateria, clique aqui.

Modelos estocásticos

Os modelos estocásticos utilizam a abstração para descrever a bateria. Os processos que são considerados estocásticos são: a descarga da bateria e o efeito de recuperação. Neste tipo de modelo, a bateria é representada por um número finito de unidades de carga e o comportamento da descarga é modelado utilizando um processo estocástico. À medida que o tempo evolui, este processo é dividido em intervalos iguais e o estado da bateria é controlado pelo número de unidades restantes de carga.

O modelo estocástico fornece uma boa descrição qualitativa do comportamento de baterias, entretanto a sua precisão em termos quantitativos ainda não está clara.

Modelos analíticos

Os modelos analíticos são, na sua maioria, modelos físicos e de fácil implementação. Esses modelos utilizam um conjunto pequeno de equações para modelar as principais características da bateria.

Existem diversos tipos de modelo analíticos, os mais simples e menos precisos, consideram a bateria como um sistema linear, desconsiderando os efeitos não lineares do processo de descarga. Alguns modelos consideram apenas uma parte das propriedades não lineares da bateria, como por exemplo, a relação não linear entre o tempo de vida da bateria e sua taxa de descarga.

Também existem modelos analíticos que são baseados na difusão dos íons no eletrólito e descrevem a evolução da concentração dos elétrons durante o processo de descarga. Já outros modelos analíticos, se baseiam nos processos cinéticos que ocorrem no interior da bateria e consideram, por exemplo, a velocidades das reações químicas.

Modelos via identificação de sistemas

A identificação de sistemas é uma técnica alternativa para a modelagem matemática de sistemas dinâmicos. Utilizando essa técnica, não há necessidade de envolver as leis físicas presentes no processo, somente é necessário um conhecimento prévio de todo o sistema e uma análise do conjunto de dados observados no sistema.

A modelagem matemática via Identificação de Sistemas, pode ser feita de duas formas diferentes: Caixa-preta, na qual não se tem nenhum conhecimento prévio do sistema a ser modelado, e utiliza-se apenas os dados de entrada e saída do processo. E a Caixa-cinza, que é utilizada quando se tem algum conhecimento físico referente ao sistema. A forma com que esse conhecimento físico será aplicado, depende do modelo que será construído.

Modelos híbridos

Os modelos híbridos constituem uma nova tendência de modelos matemáticos, onde a principal diferença entre os demais, é a possibilidade de acoplar dois modelos distintos, unindo as vantagens de ambos, em um só. São inúmeras possibilidades de combinação. Podem, por exemplo, incluir abordagens de simulação eletroquímica e térmica acopladas ou desacopladas, envolvendo, até mesmo, fenômenos de envelhecimento.

Todas essas estratégias de modelamento matemático, podem ser aplicadas a qualquer tipo de bateria. A essência dos modelos para os diferentes tipos de baterias é o mesmo, sendo necessário realizar pequenas mudanças para cada tipo de célula considerada.

O avanço no desenvolvimento das baterias é um processo lento. Então, desde a invenção da bateria, a busca por baterias recarregáveis com maior capacidade, menor tamanho e peso se tornou o objetivo de muitos desenvolvedores e pesquisadores de diversas áreas. No próximo artigo, falarei sobre os principais tipos de baterias, destacando algumas de suas características mais relevantes.

Referências

ABADA, S. et al.,Safety Focused Modeling of Lithium-ion Batteries: A review, Journal of Power Sources, França, Dezembro, 2015. Disponível em: <http://dx.doi.org/10.1016/j.jpowsour.2015.11.100>

KUSIAK, R. S., Modelagem Matemática do Tempo de Vida de Baterias de Lítio Íon Polímero a partir de Modelos Híbridos considerando Correntes de Descarga Variáveis, 2016. 87p. Dissertação (Mestrado) – Pós Graduação em Modelagem Matemática, Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, 2016.

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