Ponte de Wheatstone

ponte de wheatstone

Introdução

 

A ponte de Wheatstone é um circuito elétrico utilizado para medir uma resistência desconhecida, normalmente com valor próximo às outras resistências do circuito. Pode ser utilizado também para se medir duas resistências que variam de maneira espelhada, enquanto uma aumenta seu valor, a outra diminui o seu valor de forma proporcional.

 

A proposta deste artigo é de apresentar os cálculos para que possamos compreender como funciona esse circuito muito utilizado em diversas aplicações.

 

 

Charles Wheatstone

 

Seu inventor foi Charles Wheatstone, cientista inglês do seculo XIX, que fez várias contribuições para o estudo de circuitos elétricos e também inventou, entre outros dispositivos, o estereoscópio (um dispositivo para mostrar imagens tridimensionais) e uma técnica de encriptação (Playfair cipher, utilizada na primeira e segunda Guerra Mundial). Sua foto está em destaque no artigo.

 

Publicou diversos artigos científicos e a maioria de seus papers é relevante até os dias atuais. Os circuitos desenvolvidos por Wheatstone com resistências em paralelo e em ponte, em série ou em paralelo com equipamentos, são a base dos medidores-testadores multirange modernos. Atualmente os multímetros, amperímetros e ohmímetros digitais possuem formas diferentes de medição, mas os conceitos apresentados e desenvolvidos por Wheatstone foram base dos princípios de medição de precisão de circuitos elétricos por um século e meio. Além disso, podemos utilizar o circuito de ponte de Wheatstone para se medir temperatura, com a utilização de um sensor que varia a resistência conforme a temperatura. Células de carga são outro exemplo que se utilizam do mesmo circuito para que se faça a medida facilmente utilizando amplificadores de instrumentação.  

 

 

O Circuito da ponte de Wheatstone

 

Considere uma fonte de tensão V e quatro resistores R1, R2, R3, R4, dispostos conforme a figura a seguir. Adote também as correntes I1 e I2, além dos nós A, B, C e D.

 

Ponte-de-Wheatstone-1
Figura 1: Circuito proposto inicialmente

 

 

Temos, conforme nosso circuito acima, que:

 

V = V_{AD} (Eq. 1)

 

 

As equações para as correntes nesse circuito são as seguintes:

 

I_{1} = \frac{V_{AD}}{R_{1}+R_{3}} = \frac{V}{R_{1}+R_{3}} (Eq. 2)

 

I_{2} = \frac{V_{AD}}{R_{2}+R_{4}} = \frac{V}{R_{2}+R_{4}} (Eq. 3)

 

 

Os valores para cada uma das tensões nomeadas pelas letras A, B, C e D são:

 

V_{AB}=R_{1}I_{1}=R_{1}\left ( \frac{V}{R_{1}+R_{3}} \right ) (Eq. 4)

 

V_{BD}=R_{3}I_{1}=R_{3}\left ( \frac{V}{R_{1}+R_{3}} \right ) (Eq. 5)

 

V_{AC}=R_{2}I_{2}=R_{2}\left ( \frac{V}{R_{2}+R_{4}} \right ) (Eq. 6)

 

V_{CD}=R_{4}I_{2}=R_{4}\left ( \frac{V}{R_{2}+R_{4}} \right ) (Eq. 7)

 

 

Mas sabe-se que Vm pode ser representado por:

 

V_{M}=V_{BD}+V_{DC}=V_{BD}-V_{CD} (Eq. 8)

 

Desenvolvendo essa equação, obteremos:

 

V_{M}=R_{3}\left ( \frac{V}{R_{1}+R_{3}} \right )-R_{4}\left ( \frac{V}{R_{2}+R_{4}} \right ) (Eq. 9)

 

V_{M}= \frac{R_{3}V\left (R_{2}+R_{4} \right )-R_{4}V\left (R_{1}+R_{3} \right )}{\left(R_{1}+R_{3} \right )\left (R_{2}+R_{4} \right )} (Eq. 10)

 

V_{M}= \frac{R_{2}R_{3}V+R_{4}R_{3}V-R_{1}R_{4}V-R_{3}R_{4}V}{\left(R_{1}+R_{3} \right )\left (R_{2}+R_{4} \right )} (Eq. 11)

 

V_{M}= V\frac{R_{2}R_{3}-R_{1}R_{4}}{\left(R_{1}+R_{3} \right )\left (R_{2}+R_{4} \right )} (Eq. 12)

 

 Vm também pode ser representada pela equação 13 a seguir:

 

V_{M}=V_{AC}+V_{BA}=V_{AC}-V_{AB} (Eq. 13)

 

A equação 13 também pode ser desenvolvida:

 

V_{M}=R_{2}\left ( \frac{V}{R_{2}+R_{4}} \right )-R_{1}\left ( \frac{V}{R_{1}+R_{3}} \right ) (Eq. 14)

 

V_{M}= \frac{R_{2}V\left (R_{1}+R_{3} \right )-R_{1}V\left (R_{2}+R_{4} \right )}{\left(R_{1}+R_{3} \right )\left (R_{2}+R_{4} \right )} (Eq. 15)

 

V_{M}= \frac{R_{1}R_{2}V+R_{2}R_{3}V-R_{1}R_{2}V-R_{1}R_{4}V}{\left(R_{1}+R_{3} \right )\left (R_{2}+R_{4} \right )} (Eq. 16)

 

V_{M}= V\frac{R_{2}R_{3}-R_{1}R_{4}}{\left(R_{1}+R_{3} \right )\left (R_{2}+R_{4} \right )} (Eq. 17)

 

 

Observe que chegamos a duas equações iguais, as equações 12 e 17. Portanto, se a análise é feita levando-se em consideração R1 e R2 ou R3 e R4, o valor de Vm é o mesmo.

 

 Em caso de variações das diferentes resistências do circuito, obtemos o seguinte resultado:

 

CodeCogsEqn (Eq. 18)

 

Observe que, se as variações de resistência forem nulas, o resultado é igual à equação 17.

 

V_{M}= V\frac{R_{2}R_{3}-R_{1}R_{4}}{\left(R_{1}+R_{3} \right )\left (R_{2}+R_{4} \right )} (Eq. 17)

 

 

Ponte de Wheatstone - Caso 1: Todos os resistores são iguais

 

Agora, imagine que:

 

\frac{R_{1}}{R_{2}}=\frac{R_{3}}{R_{4}}=1 (Eq. 19)

 

Ou seja, 

R_{1}=R_{2} (Eq. 20)

 

R_{3}=R_{4} (Eq. 21)

 

Obtemos, substituindo na equação 17, que:

 

V_{M}= V\frac{R_{2}R_{3}-R_{2}R_{3}}{\left(R_{1}+R_{3} \right )\left (R_{2}+R_{4} \right )}=0 (Eq. 22)

 

Ou seja, em caso de resistências iguais, a tensão medida em Vm é nula, igual a zero.

 

 

Ponte de Wheatstone - Caso 2: Um resistor variáveis

 

Considere que um dos resistores varie, o resistor R4:

 

Ponte-de-Wheatstone-2
Figura 2: Resistor R4 variável.

 

 

Ou seja, o valor dos resistores é:

 

R_{1}=R_{2}=R_{3}=R, R_{4}=R+\Delta R (Eq. 23)

 

Substituindo na equação 17:

 

V_{M}=V\frac{\left(RR-R\left(R+\Delta R\right)\right)}{2R\left(2R+\Delta R\right)} (Eq. 24)

 

V_{M}=V\frac{\left(R^{2}-R^{2}-R\Delta R\right)}{4R^{2}+2R\Delta R} (Eq. 25)

 

V_{M}=V\frac{-R\Delta R}{4R^{2}+2R\Delta R} (Eq. 26)

 

V_{M}=\frac{-\Delta R}{4R+2\Delta R}V\approx V_{M}=\frac{-\Delta R}{4R} V (Eq. 27)

 

A equação encontrada representa o valor aproximado lido na tensão medida entre os pontos B e C.

 

 

Ponte de Wheatstone - Caso 3: Dois resistores variáveis 

 

Considere que dois resistores variem igualmente em quantidade, porem de forma oposta. Considere, para nosso circuito, os resistores R2 e R4:

 

Ponte-de-Wheatstone-3
Figura 3: Resistores R4 e R2 variáveis

 

 

Ou seja,

 

R_{1}=R_{3}=R; R_{2}=R-\Delta R ;R_{4}=R+ \Delta R (Eq. 28)

 

Substituindo na equação 17: 

 

V_{M}= V\frac{R_{2}R_{3}-R_{2}R_{3}}{\left(R_{1}+R_{3} \right )\left (R_{2}+R_{4} \right )}=0 (Eq. 29)

 

V_{M}= V\frac{\left ( R- \Delta R \right)R-R\left (R+ \Delta R \right )}{\left( 2R \right )\left (R + \Delta R+R-\Delta R \right )}=0 (Eq. 30)

 

V_{M}= \frac{ R^{2} - R \Delta R - R^{2} - R \Delta R}{ 2R^{2}} V=0 (Eq. 31)

  

V_{M}=\frac {-2R \Delta R} {4R^{2}}V (Eq. 32)

  

V_{M}= \frac {\Delta R} {2R} V (Eq. 33)

 

A equação encontrada representa o valor aproximado lido na tensão medida entre os pontos B e C.

 

 

Referências

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Wheatstone_bridge

 

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Thiago Lima
Apaixonado por sistemas digitais e circuitos eletrônicos, ja contabilizo 16 anos trabalhando com desenvolvimento de produtos eletrônicos. Formado na USP Sao Carlos, com mestrado em Engenharia Elétrica no Rochester Institute of Technology pelo CsF, atualmente lidero boa parte das operações do Embarcados, buscando levar conhecimento de sistemas eletrônicos para o Brasil. Experimentar o mundo das startups nos EUA foi transformador. La fui cofundador de uma startup de tecnologia chamada Una, sendo acelerado e incubado por um programa especial de Startups no RIT. Ao final, recebemos um prêmio de melhor startup do programa. No Laboratório Hacker de Campinas sou um dos entusiastas de novas tecnologias e apoio iniciativas da comunidade. Tambem participo de atividades comunitarias e sou um dos responsáveis pela Plataforma Ituiutaba Lixo Zero, onde escrevo regularmente artigos sobre redução de resíduos. Sou sonhador mesmo e quero acender a luz ?

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Juliana PereiraÍtalo TrindadeThiago LimaGustavo PavanEduardo Recent comment authors
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Juliana Pereira
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Juliana Pereira

Preciso de uma ponte de wheatstone urgente em Belo Horizonte. Obrigada, era o que eu procurava

Ítalo Trindade
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Ítalo Trindade

Boa noite, as pontes de Wheatstone são muito utilizadas em células de carga de tração e estas utilizadas em balanças. Gostaria de entender melhor no que influenciaria a ligação de 2 ou 4 pontes em paralelo e não apenas 1, em sistemas de pesagem, visto que estando em paralelo o sinal elétrico na saída seria um só, até onde este tipo de ligação me traria confiabilidade?

Gustavo Pavan
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Gustavo Pavan

Estou na dúvida de como seria a modelagem matemática caso eu teria 2 resistências variando, porém as duas no mesmo sentindo por exemplo a R1 e R4. To ficando louco tentando calcular aqui shauhsuah

Eduardo
Visitante
Eduardo

Olá, gostaria de saber como faço para calcular a corrente máxima que uma ponte de wheatstone requer quando em carga máxima.

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[…] A DFT de Goertzel é um recurso muito interessante do ponto de vista de aplicação de processamento digital de sinais, pois realiza uma filtragem bastante seletiva e com baixo gasto de processamento. As aplicações em telefonia são as mais conhecidas e óbvias. Mas seu uso também pode ser interessante em sensores com excitação em corrente alternada senoidal, tais como sensores de posicionamento linear, ou sensores de massa, torque ou pressão, que utilizem pontes de Wheatstone. […]

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[…] Para se aprofundar nos conceitos de medidas em ponte, recomendo a leitura do artigo técnico Ponte de Wheatstone. […]

Rafael Dias
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Rafael Dias

O interessante é que parece um circuito trivial, mas tem aplicações importantes, como em instrumentação.