Ponte de Wheatstone

Introdução

 

A ponte de Wheatstone é um circuito elétrico utilizado para medir uma resistência desconhecida, normalmente com valor próximo às outras resistências do circuito. Pode ser utilizado também para se medir duas resistências que variam de maneira espelhada, enquanto uma aumenta seu valor, a outra diminui o seu valor de forma proporcional.

 

A proposta deste artigo é de apresentar os cálculos para que possamos compreender como funciona esse circuito muito utilizado em diversas aplicações.

 

 

Charles Wheatstone

 

Seu inventor foi Charles Wheatstone, cientista inglês do seculo XIX, que fez várias contribuições para o estudo de circuitos elétricos e também inventou, entre outros dispositivos, o estereoscópio (um dispositivo para mostrar imagens tridimensionais) e uma técnica de encriptação (Playfair cipher, utilizada na primeira e segunda Guerra Mundial). Sua foto está em destaque no artigo.

 

Publicou diversos artigos científicos e a maioria de seus papers é relevante até os dias atuais. Os circuitos desenvolvidos por Wheatstone com resistências em paralelo e em ponte, em série ou em paralelo com equipamentos, são a base dos medidores-testadores multirange modernos. Atualmente os multímetros, amperímetros e ohmímetros digitais possuem formas diferentes de medição, mas os conceitos apresentados e desenvolvidos por Wheatstone foram base dos princípios de medição de precisão de circuitos elétricos por um século e meio. Além disso, podemos utilizar o circuito de ponte de Wheatstone para se medir temperatura, com a utilização de um sensor que varia a resistência conforme a temperatura. Células de carga são outro exemplo que se utilizam do mesmo circuito para que se faça a medida facilmente utilizando amplificadores de instrumentação.  

 

 

O Circuito da ponte de Wheatstone

 

Considere uma fonte de tensão V e quatro resistores R1, R2, R3, R4, dispostos conforme a figura a seguir. Adote também as correntes I1 e I2, além dos nós A, B, C e D.

 

Ponte-de-Wheatstone-1
Figura 1: Circuito proposto inicialmente

 

 

Temos, conforme nosso circuito acima, que:

 

V = V_{AD} (Eq. 1)

 

 

As equações para as correntes nesse circuito são as seguintes:

 

I_{1} = \frac{V_{AD}}{R_{1}+R_{3}} = \frac{V}{R_{1}+R_{3}} (Eq. 2)

 

I_{2} = \frac{V_{AD}}{R_{2}+R_{4}} = \frac{V}{R_{2}+R_{4}} (Eq. 3)

 

 

Os valores para cada uma das tensões nomeadas pelas letras A, B, C e D são:

 

V_{AB}=R_{1}I_{1}=R_{1}\left ( \frac{V}{R_{1}+R_{3}} \right ) (Eq. 4)

 

V_{BD}=R_{3}I_{1}=R_{3}\left ( \frac{V}{R_{1}+R_{3}} \right ) (Eq. 5)

 

V_{AC}=R_{2}I_{2}=R_{2}\left ( \frac{V}{R_{2}+R_{4}} \right ) (Eq. 6)

 

V_{CD}=R_{4}I_{2}=R_{4}\left ( \frac{V}{R_{2}+R_{4}} \right ) (Eq. 7)

 

 

Mas sabe-se que Vm pode ser representado por:

 

V_{M}=V_{BD}+V_{DC}=V_{BD}-V_{CD} (Eq. 8)

 

Desenvolvendo essa equação, obteremos:

 

V_{M}=R_{3}\left ( \frac{V}{R_{1}+R_{3}} \right )-R_{4}\left ( \frac{V}{R_{2}+R_{4}} \right ) (Eq. 9)

 

V_{M}= \frac{R_{3}V\left (R_{2}+R_{4} \right )-R_{4}V\left (R_{1}+R_{3} \right )}{\left(R_{1}+R_{3} \right )\left (R_{2}+R_{4} \right )} (Eq. 10)

 

V_{M}= \frac{R_{2}R_{3}V+R_{4}R_{3}V-R_{1}R_{4}V-R_{3}R_{4}V}{\left(R_{1}+R_{3} \right )\left (R_{2}+R_{4} \right )} (Eq. 11)

 

V_{M}= V\frac{R_{2}R_{3}-R_{1}R_{4}}{\left(R_{1}+R_{3} \right )\left (R_{2}+R_{4} \right )} (Eq. 12)

 

 Vm também pode ser representada pela equação 13 a seguir:

 

V_{M}=V_{AC}+V_{BA}=V_{AC}-V_{AB} (Eq. 13)

 

A equação 13 também pode ser desenvolvida:

 

V_{M}=R_{2}\left ( \frac{V}{R_{2}+R_{4}} \right )-R_{1}\left ( \frac{V}{R_{1}+R_{3}} \right ) (Eq. 14)

 

V_{M}= \frac{R_{2}V\left (R_{1}+R_{3} \right )-R_{1}V\left (R_{2}+R_{4} \right )}{\left(R_{1}+R_{3} \right )\left (R_{2}+R_{4} \right )} (Eq. 15)

 

V_{M}= \frac{R_{1}R_{2}V+R_{2}R_{3}V-R_{1}R_{2}V-R_{1}R_{4}V}{\left(R_{1}+R_{3} \right )\left (R_{2}+R_{4} \right )} (Eq. 16)

 

V_{M}= V\frac{R_{2}R_{3}-R_{1}R_{4}}{\left(R_{1}+R_{3} \right )\left (R_{2}+R_{4} \right )} (Eq. 17)

 

 

Observe que chegamos a duas equações iguais, as equações 12 e 17. Portanto, se a análise é feita levando-se em consideração R1 e R2 ou R3 e R4, o valor de Vm é o mesmo.

 

 Em caso de variações das diferentes resistências do circuito, obtemos o seguinte resultado:

 

CodeCogsEqn (Eq. 18)

 

Observe que, se as variações de resistência forem nulas, o resultado é igual à equação 17.

 

V_{M}= V\frac{R_{2}R_{3}-R_{1}R_{4}}{\left(R_{1}+R_{3} \right )\left (R_{2}+R_{4} \right )} (Eq. 17)

 

 

Ponte de Wheatstone - Caso 1: Todos os resistores são iguais

 

Agora, imagine que:

 

\frac{R_{1}}{R_{2}}=\frac{R_{3}}{R_{4}}=1 (Eq. 19)

 

Ou seja, 

R_{1}=R_{2} (Eq. 20)

 

R_{3}=R_{4} (Eq. 21)

 

Obtemos, substituindo na equação 17, que:

 

V_{M}= V\frac{R_{2}R_{3}-R_{2}R_{3}}{\left(R_{1}+R_{3} \right )\left (R_{2}+R_{4} \right )}=0 (Eq. 22)

 

Ou seja, em caso de resistências iguais, a tensão medida em Vm é nula, igual a zero.

 

 

Ponte de Wheatstone - Caso 2: Um resistor variáveis

 

Considere que um dos resistores varie, o resistor R4:

 

Ponte-de-Wheatstone-2
Figura 2: Resistor R4 variável.

 

 

Ou seja, o valor dos resistores é:

 

R_{1}=R_{2}=R_{3}=R, R_{4}=R+\Delta R (Eq. 23)

 

Substituindo na equação 17:

 

V_{M}=V\frac{\left(RR-R\left(R+\Delta R\right)\right)}{2R\left(2R+\Delta R\right)} (Eq. 24)

 

V_{M}=V\frac{\left(R^{2}-R^{2}-R\Delta R\right)}{4R^{2}+2R\Delta R} (Eq. 25)

 

V_{M}=V\frac{-R\Delta R}{4R^{2}+2R\Delta R} (Eq. 26)

 

V_{M}=\frac{-\Delta R}{4R+2\Delta R}V\approx V_{M}=\frac{-\Delta R}{4R} V (Eq. 27)

 

A equação encontrada representa o valor aproximado lido na tensão medida entre os pontos B e C.

 

 

Ponte de Wheatstone - Caso 3: Dois resistores variáveis 

 

Considere que dois resistores variem igualmente em quantidade, porem de forma oposta. Considere, para nosso circuito, os resistores R2 e R4:

 

Ponte-de-Wheatstone-3
Figura 3: Resistores R4 e R2 variáveis

 

 

Ou seja,

 

R_{1}=R_{3}=R; R_{2}=R-\Delta R ;R_{4}=R+ \Delta R (Eq. 28)

 

Substituindo na equação 17: 

 

V_{M}= V\frac{R_{2}R_{3}-R_{2}R_{3}}{\left(R_{1}+R_{3} \right )\left (R_{2}+R_{4} \right )}=0 (Eq. 29)

 

V_{M}= V\frac{\left ( R- \Delta R \right)R-R\left (R+ \Delta R \right )}{\left( 2R \right )\left (R + \Delta R+R-\Delta R \right )}=0 (Eq. 30)

 

V_{M}= \frac{ R^{2} - R \Delta R - R^{2} - R \Delta R}{ 2R^{2}} V=0 (Eq. 31)

  

V_{M}=\frac {-2R \Delta R} {4R^{2}}V (Eq. 32)

  

V_{M}= \frac {\Delta R} {2R} V (Eq. 33)

 

A equação encontrada representa o valor aproximado lido na tensão medida entre os pontos B e C.

 

 

Referências

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Wheatstone_bridge

 

Fiz mestrado em Engenharia Elétrica pelo Rochester Institute of Technology. Minha paixão por sistemas digitais e circuitos eletrônicos me proporcionou experiência ao trabalhar por 16 anos com desenvolvimento de produtos eletrônicos. Nos Estados Unidos fui fundador de uma startup de tecnologia chamada Una, onde trabalhei por 8 meses, sendo acelerado e incubado por um programa especial de Startups no RIT. Ao final, recebemos um prêmio de melhor startup do programa. Sou um dos responsáveis pela Plataforma Ituiutaba Lixo Zero, onde escrevo regularmente artigos sobre redução de resíduos. Também faço parte do Laboratório Hacker de Campinas, um dos lugares onde mais bombam atividades relacionadas a tecnologia just for fun. Atualmente sou CMO do Embarcados.