Logaritmos

logaritmos
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Durante vários momentos da eletrônica nos deparamos com equações onde os logaritmos devem ser calculados. Os logaritmos são uma ferramenta matemática poderosa e que permitem que números gigantescos sejam trabalhados sem grandes dificuldades.

Um exemplo muito comum é no cálculo do ganho de um sistema. Sem contar as inúmeras aplicações para os cálculos envolvendo rádio frequência (RF).

Para o pessoal que trabalha com embarcados e que atua na área de elétrica, eletrônica, telecomunicações, etc. saber calcular os logaritmos e quais são suas propriedades pode ser algo trivial.

Mas ouso dizer que poucos realmente entendem o conceito de logaritmo e o que significa essa ferramenta matemática.

O que são os Logaritmos?

No século XVII a efervescência de matemáticos, filósofos e físicos era grande. Novas teorias nasciam a todo o momento. Podemos dizer que o mundo passava por uma era de ouro nas descobertas matemáticas.

Johannes Kepler (1571 – 1630), com suas teorias das órbitas dos planetas, era um destes filósofos-matemáticos. Ele se deparou com equações exponenciais, grandes e de resolução complexa. A capacidade de cálculo da época e as ferramentas matemáticas existentes não permitiam a rápida resolução destas equações, o que tornava estes cálculos um verdadeiro martírio.

Neste ambiente, John Napier (1550 – 1617), escreveu uma obra que revolucionou a matemática e permitiu a solução destas equações complexas em muito menos tempo e de modo muito mais simples.

Seu principal livro foi o “Mirifice Logarithmorum Canonis Descriptio” (1614), cuja tradução seria “Uma maravilhosa descrição das leis da evolução”.

Livro este disponível para download neste link.

Imagens dos originais deste livro podem ser vistas neste link.

Sim, o conceito de logaritmo desenvolvido por Napier mostra a evolução de um número para outro número. Como assim?

Ao começar a calcular números exponenciais, Napier percebeu uma propriedade implícita. Veja por exemplo potencias utilizando a base 10, mostrada na equação 1:

logaritmo-equação-01
Equação 1 – Potências na base 10.

Perceba que o expoente 1 resulta no número 10, o expoente 2 resulta no número 100, o expoente 3 resulta no número 1000, e assim por diante.

Pensando desta maneira, Napier organizou os números de um modo diferente, como a mostra a tabela 01.

Tabela 1 – Evolução dos números na base 10 através dos expoentes de 0 até 7.

logaritmo-tabela-01

Abaixo o formato original que está no livro do Napier:

logaritmos-napier-tabela
Figura 1 - formato original no livro do Napier

Napier percebeu a existência de uma correlação entre a linha de “números” e a linha de “expoentes”.

O número 40, por exemplo, está entre os números 10 e 100. Se o expoente 1 gera o número 10 e o expoente 2 gera o número 100, existe um expoente entre 1 e 2 que irá gerar o número 40.

Qual será o expoente utilizado numa base 10 que gera o número 40?

Para provar esta suposição, Napier fez mais alguns cálculos, o que resultou na tabela 2.

Tabela 2 – Evolução dos números na base 10 através dos expoentes de 1,0 até 2,0.

logaritmos-tabela-02

Nesta nova tabela foi possível perceber que o número 40 esta entre os números 39,81 e 50,11.

Estes, por sua vez, são gerados pelos expoentes 1,6 e 1,7. A correlação ainda se mantinha e percebeu que se criasse uma nova tabela com valores de exponenciais de 1,60 até 1,70 se aproximaria ainda mais do número 40.

Napier fez isso mais algumas vezes.

Ao final destas observações ele escreveu, em Latim:

Logarithmorum 40 basis 10 aequalis 1,602059...

Cuja tradução livre poderia ser:

A evolução do número 40 na base 10 é igual a 1,602059...

E que se aprende na escola como a professora mostra no quadro é equação 2.

logaritmos-equação-02
Equação 2 – Logaritmo de 40 na base 10.

Sim, para John Napier, um número evoluiu de uma escala (números reais) para outra escala (logaritma)!

Isso significa dizer, matematicamente, o que é mostrado na equação 3.

logaritmos-equação-03
Equação 3 – Exponencial de 10 que gera o número 40.

Isto é válido para qualquer base!

Qualquer uma! E Napier fez as tabelas de cálculo para diversas bases diferentes, para provar que seus conceitos faziam sentido.

Veja o exemplo mostrado na tabela 3, com a base 2, para obter a evolução (logaritmo) do número 40.

Tabela 3 – Evolução dos números na base 2 através dos expoentes de 0 até 10.

logaritmos-tabela-03

O número 40 está entre os números 32 e 64, que são gerados pelos expoentes 5 e 6. Fazendo uma nova escala de expoente de 5,0 até 6,0 tem-se a tabela 4.

Tabela 4 – Evolução dos números na base 2 através dos expoentes de 5,0 até 6,0.

logaritmo-tabela-04

Agora o número 40 está entre os números 39,39 e 42,22. Estes são gerados pelos expoentes 5,3 e 5,4.

Extrapolando essa ideia, Napier escreveria:

Logarithmorum 40 basis 2 aequalis 5,321928...

Cuja tradução livre do latim é:

A evolução do número 40 na base 2 é igual a 5,321928...

A notação da escola é a da equação 4.

logaritmo-equação-04
Equação 4 – Logaritmo de 40 na base 2.

Seu contraponto exponencial é mostrado na equação 5.

logaritmo-equação-05
Equação 5 – Exponencial de 2 que gera o número 40.

Qual a importância disto?

Ao ler o artigo até aqui, você leitor, deve estar se perguntando: e daí?

Para que serve esta mudança para uma escala logaritma, esta tal “evolução” de um número?

Aqui está o grande “lance” de genialidade do trabalho de John Napier: perceber que mudar um número para uma escala logaritma permite que as operações matemáticas sejam mudadas também, simplificando os cálculos.

Calma, eu tentarei explicar do melhor modo possível.

Se você pensar em termos exponenciais vai perceber algumas propriedades interessantes. Pense na multiplicação de números gerados por exponenciações, como na equação 6.

logaritmos-equação-06
Equação 6 – Cálculo exponencial.

Se ao invés de escrever uma base e seu expoente fossem utilizados os números que resultam destes cálculos, teriam o mesmo resultado, mostrado na equação 7:

logaritmos-equação-07
Equação 7 – Cálculo de multiplicação.

Napier percebeu que a propriedade de soma exponencial também se aplica à evolução dos números, ou seja, aos logaritmos.

Onde antes era necessário fazer uma multiplicação, passou-se a ser feito apenas uma adição, operação matemática muito mais simples de executar, como mostra a equação 8.

logaritmo-equação-08
Equação 8 – Multiplicação transforma-se em adição.

Essa característica foi testada para todas as outras operações, onde se chegou à conclusão mostrada na tabela 5.

Tabela 5 – Regras de cálculo com logaritmos.

logaritmos-tabela-05

Um cálculo de multiplicação com números transforma-se em soma com logaritmos. Um cálculo de divisão vira subtração.

A potenciação passa a ser multiplicação e a radiciação será feita através de divisão.

Numa época em que as máquinas de cálculo ainda não haviam sido inventadas (Nem Kepler nem Napier tinham calculadoras HP para programar e fazer as contas), isto reduziu e muito o tempo necessário para resolver complicadas equações.

Aplicações em eletrônica

Não importa qual é a base utilizada: sempre uma função logaritma (equação 9) tem uma curva com a característica mostrada na figura 1, que mostra uma característica interessante: não importa qual é a base a curva sempre passará pelo ponto (x = 1, y = 0).

logaritmos-equação-09
Equação 9 – Função logaritma.
2-logaritmos-Curva de uma função logaritma.
Figura 2 – Curva de uma função logaritma

Diversos componentes na eletrônica têm comportamento logaritmo, como é o caso da carga de capacitores, da reatância indutiva, etc.

O som também é percebido por nossos ouvidos através de uma escala logaritma. Assim, alguns controles de volume, feito através de potenciômetros, devem ter escala logaritma.

No próximo artigo abordaremos uma importante aplicação dos logaritmos: o decibel. (dB). Até lá.

Fonte imagem de destaque: learn-math.info

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Alexander
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Alexander

Olá! Agradeço pelo artigo. Você fez um poema, da bela Matemática. Seria ótimo se os professores, mostrassem, o que está por trás, do "pacote pronto", ao invés, de reduzir e, tornar a Matemática, um horror e cansativa, para os alunos. Abraço.

Edinei Legaspe
Visitante
Edinei Legaspe

Parabéns pelo artigo.
Outra coisa que usam essas propriedade São os diagramas de bode.

Como por multiplicação vira soma... basicamente soma de as linhas do diagrama...

E como está em "s" ou Seja em laplace vc está "multiplicando" em "s" mas na verdade vc está fazendo uma integral de convolução no tempo...

O cálculo é realmente lindo...

Edio Smanio
Visitante
Edio

A régua de cálculo só foi aposentada se não me engano pela HP-35 na década de 1970, então além de ser acessório de estudantes era também ferramenta de profissionais, O projeto apollo foi todo calculado com elas por exemplo.

Alessandro Cunha
Visitante
afcunha

Sim!!! Exatamente, Edio!!! E tudo partiu do livro do Napier, com suas inúmeras tabelas de logaritmos....

Daniel Quadros
Visitante
Daniel Quadros

O fato dos logaritmos transformarem a multiplicação em soma (e a divisão em subtração) é a base da régua de cálculo (https://en.wikipedia.org/wiki/Slide_rule), essencial antes de termos calculadoras e computadores (e não, eu não cheguei a usar uma).

Alessandro Cunha
Visitante
afcunha

Sim, Daniel! Exatamente isto! Muitos anos depois do Napier ter publicado seu livro, com páginas e mais páginas de logaritimos, o pessoal percebeu que organizar aquele monte de tabelas em uma régua deslizante poderia ser uma boa ideia.

E realmente foi, tanto é que até o surgimento das poderosas calculadoras eletrônicas, a régua de cálculo era um dos acessórios obrigatórios dos estudante de engenharia.

Rafael Gebert
Visitante
Rafael Gebert

Nossa Alessandro! Meus parabéns! Este foi um dos artigos mais didáticos que já li. Texto claro, agradável de ler e ao mesmo tempo completo.

Alessandro Cunha
Visitante
afcunha

Poxa, fico muito feliz que tenha realmente gostado do artigo.

Tive aulas de matemática com um grande professor, que explicava as coisas do mesmo modo que eu tentei passar no artigo. Pelo visto consegui imprimir um ritmo e certa clareza na explicação.

Vamos ver se você conseguirá gostar dos próximos que serão publicados.

Abraços.

Ciro Peixoto
Visitante
Ciro Peixoto

Excelente didática!!
Estou gostando muito em ver que neste espaço tem surgido tão boas matérias que resgatam carências de nossa mão de obra. Maravilha!!
E se não for muita petulância de minha parte, sugiro no futuro, uma publicação com análise matemática de processos PID.

Alessandro Cunha
Visitante
afcunha

Sim, Ciro. Você citou bem.

No meu entender falta um pouco de base para o pessoal.

Quem sabe com alguns artigos assim consigamos mostrar um pouco de onde é que veio tudo isto que muitos aplicam no dia a dia sem nem ao mesmo saber o porque.

Um artigo de análise matemática sobre PID pode ser realmente bem interessante.

Quem sabe no futuro falamos um pouco sobre isto, não é?

Forte abraço.

Ciro Peixoto
Visitante
Ciro Peixoto

Legal!!! - Abraço e parabens...

Alessandro Cunha
Visitante
afcunha

Valeu! Abraços.

Saulo Furtado
Visitante
Saulo Furtado

Muito bom!

Alessandro Cunha
Visitante
afcunha

Que bom que gostou, Saulo!

Isto faz parte de uma série de artigos que estamos preparando para ser publicado no Embarcados.

Espero que acompanhe e goste.

Abraços.

Haroldo Amaral
Visitante
Haroldo Amaral

show de bola Alessandro, muito didático!

Alessandro Cunha
Visitante
afcunha

Opa! Que bom que gostou!

Tentei ser o mais claro possível num tema que geralmente carrega muitas dúvidas desde o ensino médio até a faculdade.

Tomara que eu tenha conseguido esclarecer os conceitos.

Abraços.

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