Conversor Buck – Aspectos ideais e não ideais

A eletrônica de potência está presente nas mais diversas aplicações, desde geração de energia eólica até fonte de computadores, em alta potência e também baixa potência, abrangendo os mais diversos tipos de aplicações.

 

Um conversor muito comum e bastante utilizado é o BUCK, utilizado para baixar a tensão em circuitos, prometendo também em muitos dos casos uma eficiência maior de conversão.

 

Este estudo compreende a dinâmica do conversor em sua forma ideal e também alguns componentes que fazem parte da aplicação real e alteram sua forma de funcionamento.

 

Também será estudado o controle no domínio da frequência, sendo controle contínuo e também discretizado. Para as malhas de corrente e tensão.

 

Circuito Buck

 

O circuito do conversor Buck, idealizado, pode ser visualizado na Figura 1, é utilizado para baixar tensões.

 

Figura 1: Circuito do conversor Buck. Modelo Comutado e Ideal.
Figura 2: Circuito do conversor Buck com chave fechada.
Figura 3: Circuito do conversor Buck com chave aberta.

 

Este conversor possui dois estados, um com a chave fechada (Figura 2), onde a corrente da fonte energiza o indutor L, carregando o capacitor C e fornecendo corrente para a carga R. Com a chave aberta (Figura 3) a corrente do laço passa através do diodo e a fonte não fornece carga ao circuito.

 

Tensão e corrente no indutor (L)

 

A tensão no indutor quando a chave esta fechada é Vg-Vo, e quando está aberta,\inline -Vo. Desta maneira, tem-se em regime:\inline (Vg-Vo)*D*T-Vo*(1-D)*T=0, sendo D o ciclo de trabalho (razão entre tempo de chave fechada e período de chaveamento) e T o período da frequência de chaveamento.

 

Com a tensão do indutor determinada é possível estipular a variação de corrente no indutor, sedo queVL=L \frac{di}{dt}, \, \, logo, \frac{VL}{L} = \frac{di}{dt}, resultando em: \frac{Vg-Vo}{L}=\frac{di}{T*D} \, e\, \frac{-Vo}{L} = \frac{di}{(1-D)*T}

 

Considerando\inline \Delta iL metade da variação da corrente no indutor, tem-se \inline \frac{(Vg-Vo)*D*T}{2*L}= {\Delta iL}

 

Assumindo que a corrente em regime do capacitor é iC_{avg}=0, é possível obter a seguinte equação: iC_{avg}*D*T+iC_{avg}*(1-D)*T=0 , no nó onde são conectados L,C e R, tem-se que iL=iC+Io logo iC=iL-Io, para ambos os ciclos. Resultando em (iL- \frac{Vo}{R} )_{avg}*D*T+(iL- \frac{Vo}{R} )_{avg}*(1-D)*T=0, resultando na corrente média no indutor igual a iL_{avg}= \frac{Vo}{R}.

 

Desta maneira pode-se calcular a corrente de pico e mínima do indutor: iL_{max}=iL_{avg}+\Delta iL e iL_{min}=iL_{avg}-\Delta iL.

 

Ganho do conversor

 

Considerando a tensão do indutor em regime, (Vg-Vo)*D*T-Vo*(1-D)*T=0 , obtêm-se Vo=Vin*D.

 

Corrente tensão e corrente no capacitor

 

A corrente no capacitor iC=iL-Io é para ambos os ciclos. Para o ciclo D*T, tem-se que iC=iL_{avg}+\Delta iL-\frac{Vo}{R}= (\frac{Vo}{R})_{avg}+ \Delta iL- \frac{Vo}{R},\rightarrow iC= \Delta iL, analogamente para (1-D)*T, tem-se que iC=- \Delta iL.

 

A tensão de ripple pode ser determina da seguinte maneira: C= \frac{Q}{\Delta V} = \frac{\Delta iL*T}{4*\Delta V}.

 

Calculo do conversor

 

As especificações do conversor podem ser visualizadas na Tabela 1. As variáveis de Vg à D, foram especificadas, L, Q, C calculadas.


Tabela 1: Especificações do conversor BUCK.

 

BUCK

 

Vg

24

V

Vo

12

V

R

5

ohms

Io

2,4

A

F

50000

Hz

T

2E-05

s

ΔiL

0,3

A

ΔvC

0,3

V

D

0,5

 

L

200,00E-06

H

Q

1,50E-06

C

C

5,00E-06

F

 

 

Figura 4: Formas de onda do conversor Buck. Chaveamento, Tensão no indutor (VL), Corrente no Indutor(IL1)
Figura 5: Formas de onda do conversor Buck. Chaveamento, Corrente no Capacitor (C), Corrente no Io, no resistor R.
Figura 6: Formas de onda do conversor Buck. Chaveamento, Tensão na Carga (Vo), tensão na chave (Vchave).

 

 

Malha de Controle para corrente iL e tensão Vo

 

A principal malha do conversor é a de corrente no indutor L. Basicamente o ciclo de trabalho variará e assim controlará a corrente no indutor para variar a tensão na carga. Existem malhas secundárias para controlar a tensão na carga, exercendo referência para a de corrente.

 

Para o diagrama de controle de Figura 7 são necessárias no mínimo, três plantas para análise dimensionamento dos controladores, sendo essas:

 

\frac{iL}{D} onde é extraída a razão de corrente no indutor pela razão cíclica sendo que a saída dessa malha é a corrente iL .

\frac{Vo}{iL}, para assim estipular a variação da tensão da carga, em função da corrente do indutor.

Para a referência de corrente do circuíto tem-se que iL= \frac{Vo}{R}, sendo assim a planta para referência é \frac{1}{R}.

 

Figura 7: Malha do circuito para controle decorrente e tensão

 

Função de transferência – Corrente Indutor L

 

Serão avaliadas duas funções de transferência, uma ideal, respectiva do circuito da Figura 1 e outra que considera a resistência da chave e do capacitor, Ron e Rse respectivamente (dito “real”), extraída da Figura 8. Ambas para extrair a função de transferência para corrente no indutor L.

 

Figura 8: Circuito do conversor Buck. Modelo Comutado e real.

 

Função de transferência da Figura 1:

 

G_{iL}=\frac{iL}{D} = \frac{Vg*(R*C*s+1)}{R*C*L*s^2 +L*s+R}

 

Função de transferência da Figura 8:

G_{iL}= \frac{iL}{D} = \frac{Vg*((RSE*C+R*C)*s+1)}{s^2*(RSE*C*L+R*C*L)+s*(RSE*C*R+RSE*C*Ron+R*C*Ron+L)+(Ron+R)}

 

A resposta em frequência pode ser visualizada no diagrama de bode da Figura 9 e ao estímulo para ambas as funções de transferência na Figura 10.

 

Figura 9: Resposta em Frequência dos circuitos Buck ideal e real para malha de corrente.
Figura 10: Resposta ao estimulo da função de transferência. Ciclo de trabalho 0.5 e F=50K.

 

Função de transferência – Tesão na Carga (C||R) e (C+RSE||R)

 

Para a tensão de carga, ambas as funções de transferência podem ser encontradas abaixo:

 

Função de transferência da Figura 1:

G_{vo}=\frac{Vo}{iL} = \frac {R}{R*Cs+1}

 

Função de transferência da Figura 8:

 

G_{vo}=\frac{Vo}{iL} = \frac{R*(RSE*C*s+1)}{(RSE*C+R*C)*s+1}

 

A resposta em frequência pode ser visualizada na Figura 11.

 

Figura 11: Resposta em Frequência dos circuitos Buck ideal e real para malha de tensão.

 

Controle do conversor

 

O controle do circuito será realizado através do domínio da frequência, inserindo compensadores, verificando ganhos e estabilidade.

 

Serão analisados o modelo continuo, onde o controle é realizado por um controlador PI, e outro discretizado, em código C. Apenas serão realizadas simulações para ambas as plantas, a ideal e dita “real”

 

Controle Contínuo

 

O circuito de controle pode ser verificado na Figura 12, sendo que representa o circuito “real” em controle continuo, para o ideal basta desconsiderar a resistências Ron e RSE, ou considerar igual a zero.

 

A função de transferência em laço aberto para o circuito da malha de corrente é dada por (os mesmos valores são utilizados para ambas funções de transferência)):

 

\dpi{150} \tiny \frac{iL}{D} = G_{iL}K_{PWM} K_{i}(K_{ci}\frac {(s +W_{z})}{s}), onde K_i=0.2,K_{pwm}=1,K_{ci}=0.1,W_z=15708

 

O gráfico de bode poder ser visualizado na Figura 13.

 

Figura 12: Circuito do conversor Buck com malha de corrente e tensão.

 

Para realizar a análise da malha de tensão é necessário uma função de transferência com ordem superior a segunda, para simplificar, analisa-se a responta em frequência em laço fechado da malha de corrente, que pode ser visualizado na Figura 14 .

 

A equação de laço fechado da malha de corrente \dpi{150} \small iL,pode ser observada abaixo:

 

\dpi{150} \tiny \frac{iL}{iL_{ref}} =\frac{G_{iL} K_{PWM} K_{i} (K_{ci} \frac{(s +W_z )} {s})}{1 +G_{iL} K_{PWM} K_i(K_{ci} (\frac{s+W_z}{s}))}, onde K_i=0.2,K_{pwm}=1,K_{ci}=0.1,W_z=15708

 

Através da Figura 14, verifica-se que possui ganho, e pouco significativo, apenas em baixa frequência, sendo assim essa malha será substituída por um ganho estático:\inline iL_{K}= \frac{iL}{iL_{REF}} =\frac {1}{( 1+K_i) }, sendo K_i=0.2 que é o ganho do sensor de corrente.

 

Figura 13: Função de transferência em laço aberto das malhas de corrente. Ideal e Real.
Figura 14: Resposta em em frequência em laço fechado da malha de corrente para circuito Ideal e Real. Representação de ganho estático que substitui a malha.

 

Desta maneira é possível obter a função de transferência em laço aberto, para se obter a referência de corrente através da malha de tensão:

 

\dpi{120} \tiny iL_{ref} = \frac {iL_k} {R}K_v G_{vs}(K_{cv}\frac{(s +W_z )}{s}), onde K_v=0.2,K_{cv}=0.01,W_z=10000,R=5

 

O gráfico de bode da equação acima pode ser visualizado na Figura 15.

 

Figura 15: Diagrama de bode para \dpi{120} \tiny iL_{ref} . Circuito ideal e real.

 

O resultado da simulação para os conversores pode ser visualizado nas Figuras 16 e 17. É verificado o comportamento em sobrecarga e também com perturbação da tensão da fonte.

 

Figura 16: Resultado Obtido na simulação com controladores contínuos e com sobrecarga. Corrente Máxima de 4A.
Figura 17: Resultado Obtido na simulação com controladores contínuos, com sobrecarga e com perturbação da tensão da fonte. Corrente Máxima de 4A.

 

Discretização dos compensadores

 

O compensador PI possui a seguinte resposta \inline C(s ) = K_c*( \frac{(S+W_c)}{s}), no domínio da frequência.

 

Utilizando a transformada Z, onde s= \frac{2}{Ts}* (\frac{(1-Z^{-1})}{1+Z^{-1}} ) e E(K)*C(Z)=U(K), é possível discretizar o compensador: U(K )=U(K-1) + E(k)*a+E( K-1 )*b.

Sendo, a=\frac{2*K_c+K_c*W_z*T_s}{ 2 } e b= \frac{-2*K_c+K_c*W_z*T_z}{ 2 }.

 

Código em C para compensador de corrente do indutor

 

double Ek;
static double Ek_1=0;
double Uk;
static double Uk_1=0;
double vIn;
double Kci;
double Ts;
double Wz;
double a;
double b;

Kci=0.1;
Ts=0.000005;
Wz=15873;


a=(2*Kci+Kci*Wz*Ts)/2;
b=(-2*Kci+Kci*Wz*Ts)/2;

Ek= Vref-Vout;
Uk=Uk_1+Ek*a+Ek_1*b;

Uk_1=Uk;
Ek_1=Ek;

 

Código em C para compensador de corrente da tensão

 

double Ek;
static double Ek_1=0;
double Uk;
static double Uk_1=0;
double vIn;
double Kcv;
double Ts;
double Wz;
double a;
double b;

Kcv=0.01;
Ts=0.000005;
Wz=10000;


a=(2*Kcv+Kcv*Wz*Ts)/2;
b=(-2*Kcv+Kcv*Wz*Ts)/2;

Ek= Vref-Vout;
Uk=Uk_1+Ek*a+Ek_1*b;

Uk_1=Uk;
Ek_1=Ek;

 

Resultado obtido com controlador discretizado

 

O resultado obtido no modelo discretizado pode ser visualizado na Figura 18, tensão de saída com perturbação da fonte de tensão e saída do controlador. A única alteração em relação ao circuito contínuo é o controlador.

 

Figura 18: Resposta do modelo comutado ao controle discretizado. Curvas de tensão de saída, saída dos controladores e fonte de tensão com perturbação e sobrecarga.

 

 

Considerações finais

 

O estudo dos conversores em sua forma ideal é primordial para entendê-lo plenamente. Com esse estudo é possível extrair as principais formas de onda e equações para dimensionamento. No entanto, existem aplicações em que esses modelos não são suficientes e são utilizados alguns que se assemelham mais de um conversor real, um exemplo seria um Buck que converte 5V para 1,8V.

 

Para os modelos utilizados foi verificado que a resistência Ron e RSE, diminuem o ganho do conversor, embora utilizado um valor muitas vezes considerado alto. Em aplicações que requerem alto desempenho pode ser que exista muita diferença da planta calculada com o conversor real, pois conforme visualizado, o controlador necessita um ciclo de trabalho maior no modelo com RSE e Ron. Além do que, essas variáveis fazem com que exista queda de tensão no circuíto.

 

O domino da frequência é uma ferramenta versátil para se dimensionar compensadores, é o possível verificar o ganho em baixas e altas frequências e também se existem várias frequências de corte.

 

A malha de corrente e muito importante para que o conversor opere com segurança e não ultrapasse a corrente máxima permitida. Claro que fusíveis podem ser postos, no entanto essa proteção faz com o conversor opere em modo de sobrecarga, baixando a tensão de saída e fornecendo a corrente máxima permitida. Avisos podem ser emitidos.

 

De modo geral as simulações atendem vários requisitos, no entanto ainda é necessário, ausência de carga , entre outros.

 

 

Referências

 

SLOA049B – Application note texas.

Franklin, Gene F. , Powell, J. David. Feedback Control of Dynamic Systems, 4th Edition . Prentice Hall; 4th edition (January 15, 2002).

Buso, Simone. Mattavelli, Paolo. Digital Control in Power Electronics.

Erickson, Robert W. , Maksimovic. Dragan. Fundamentals of Power Electronics 2nd ed.

BARBI, I. Projetos de fontes chaveavas. 2.ed.Florianopolis: Ed. Do Autor, 2007. 334.

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Carlos Eduardo Novelletto Ricardo
Possui graduação em Curso Superior de Tecnologia em Automação Industrial pelo IFSC (2007). Além de atuar na área de desenvolvimento de hardware, como projetista e coordenador, também cursou o programa CI Brasil (Fase I e II) e Pós-Gradução em desenvolvimento de produtos eletrônicos pelo IFSC. Tem experiência em hardware embarcado, eletrônica de potência e metrologia.Atualmente cursando Engenharia de Controle na UFSC/BNU.

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