8 Comentários

Controlador proporcional

controlador proporcional eletrônico regimes transitórios Controlador proporcional sistemas de segunda ordem

Qual é o objetivo deste artigo?

Este artigo tem como função dar início à uma pequena discussão à respeito do uso de controladores (ou compensadores) em sistemas de controle. A intenção deste material é conseguir passar este importantíssimo conteúdo para o leitor de uma maneira didática fazendo com que o mesmo possa ser facilmente assimilado. Pretende-se elaborar um conjunto de materiais envolvendo os mais diversos tipos de controladores, como por exemplo: P, PI, PD, PID e as estruturas de atraso e avanço de fase.

O foco desta e das três próximas publicações será o Controlador Proporcional. Este é o tipo mais simples entre as estruturas de controle, porém, de extrema importância para o entendimento tanto do comportamento dos sistemas quanto dos outros tipos de controladores comumente utilizados. 

O leitor poderá compreender os seguintes assuntos caso acompanhe a nossa série:

  • Princípio de ação do Controlador proporcional;
  • Efeitos do Controlador Proporcional em sistemas de primeira ordem;
  • Efeitos do Controlador Proporcional em sistemas de segunda ordem;
  • Influência do Controlador Proporcional em regimes transitórios;
  • Implementação eletrônica do Controlador Proporcional;

O que é um sistema realimentado?

Antes de mais nada, um conceito muito importante que precisa ser discutido diz respeito ao que é um sistema realimentado e o que compõe o mesmo.

Estrutura de um sistema de controle.
Figura 1 - Estrutura de um sistema de controle.

Um sistema realimentado pode ser dividido em basicamente três partes:

  • Sistema a ser controlado;
  • Controlador (ou como dito anteriormente, compensador);
  • Realimentação.

Geralmente, o sistema a ser controlado é constituído por um processo e/ou por atuadores capazes de efetuar as ações necessárias visando desenvolver a operação ou resultado desejado. Essa, na maioria dos casos, é a parte fixa do sistema de controle, isto é, a parte que normalmente não pode ser modificada em virtude de ser fruto de um projeto, onde todas as suas partes foram planejadas e seus componentes escolhidos em função do planejamento proposto.

Em contrapartida, os outros dois elementos, ou seja, o controlador e a realimentação, têm como finalidade fazer com que o desempenho do sistema, que como foi ressaltado anteriormente, é um componente fixo (a priori), possua estabilidade e opere com certa precisão e agilidade, seguindo as especificações uma vez estabelecidas.

Primeiramente, deve-se fazer uma ressalva quanto ao posicionamento do controlador. Este geralmente encontra-se inserido no ramo direto do sistema de controle, logo após o comparador. Neste caso, pode-se dizer que a configuração utilizada é a de um controlador série (o foco deste artigo residirá em cima deste tipo de configuração). Entretanto, observe que o mesmo também pode ser inserido no ramo de realimentação ou pode fazer parte de malhas internas de realimentação.

Quanto à realimentação, é imprescindível ressaltar que um sistema de controle realimentado compara, instantaneamente, o valor de saída da planta, medido por algum tipo de sensor, com o valor de referência (ou valor desejado) existente na entrada do sistema. O resultado desta comparação é o centro de toda teoria estudada e é denominado erro atuante. Este é levado ao controlador, que produz o chamado sinal de controle, cuja função resume-se em reduzir o desvio entre a saída e o sinal desejado

Princípio de ação do controlador proporcional 

Como o nome sugere, em um controlador proporcional a saída do mesmo, também conhecido como sinal de controle (ou ação de controle), é diretamente proporcional ao sinal de erro, ou seja, ao erro atuante.

Sistema no domínio do tempo.
Figura 2 - Sistema no domínio do tempo.

Sabendo o princípio de funcionamento do controlador proporcional, pode-se analisar o mesmo matematicamente. Levando-se em conta a proporcionalidade direta entre o sinal de controle e o sinal de erro, torna-se válido afirmar que:

CONT3

Para remover o sinal de proporcionalidade entre as duas variáveis em questão, deve-se admitir uma constante de proporcionalidade entre as mesmas. Esta constante é o ganho proporcional Kp.

CONT4

De maneira mais didática, pode-se escrever: 

CONT5

Efeitos da ação do controlador proporcional 

Neste momento, serão apresentados os efeitos do uso de um controlador proporcional em sistemas de primeira ordem (sistemas que possuem um único polo), visando uma melhor compreensão da influência do mesmo em sistemas de controle. A figura 3, mostra o sistema apresentado na figura 2, porém, expresso no domínio da frequência através do uso da Transformada de Laplace.

Sistema em malha fechada com controlador proporcional
Figura 3 - Sistema em malha fechada.

Inicialmente considere um sistema cuja função de transferência de malha aberta G(s), sem zeros (para simplificar), seja dada por:

CONT8

Os sistemas de primeira ordem possuem, normalmente, dois tipos de representações usuais. Primeiramente, sugere-se que o leitor preste atenção no tipo mostrado após a primeira igualdade e perceba que esta estrutura mostra claramente a posição dos polos e zeros de um sistema. Neste caso, pode-se afirmar que o sistema em questão possui apenas um polo localizado em '-a', podendo ser estável ou não conforme o valor do parâmetro 'a'.

Para ilustrar a influência de um controlador proporcional, supõe-se, em um primeiro momento, que o valor de 'a' é tal que o sistema seja instável, por exemplo, com o polo localizado no semi-plano direito do plano complexo na posição 10. Neste caso, a função de transferência do sistema será:

CONT11

E a resposta ao degrau deste sistema pode ser visualizada na figura a seguir:

Sistema instável.
Figura 4 - Sistema instável.

Observe que este sistema é um sistema altamente instável para o sinal aplicado em sua entrada (escala da amplitude está multiplicada por fator correspondente a uma potência de 1023). 

Mas por que o fato deste possuir um polo no semi-plano direito do plano complexo faz com que este seja instável?

Para responder a esta pergunta deve-se lembrar que uma função de transferência é a razão entre a saída de um dado sistema e a sua respectiva entrada. Logo, pode-se determinar o valor do sinal de saída do mesmo, simplesmente multiplicando a própria função pelo valor do sinal de entrada aplicado.

CONT12

Sendo o sinal de entrada um degrau unitário, tem-se:

CONT14

Como o leitor pode perceber, para uma análise mais fácil de entender a resposta do sistema foi levada ao domínio do tempo (utilizando a Transformada Inversa de Laplace), onde é possível observar o comportamento da resposta ao longo do tempo. Observe que a saída do sistema Saída(t) possui uma componente exponencial cujo argumento é o fator 10t (correspondente ao polo em 10). Isto quer dizer que, conforme o tempo vai passando, esta saída será cada vez maior em virtude deste elemento. 

O controlador proporcional poderia estabilizar este sistema?

Imagine agora que o sistema apresentado, cuja função de transferência é G(s), seja colocado em malha fechada com o controlador proporcional inserido em seu ramo direto, conforme a figura 3. A função de transferência do sistema nesta configuração passa a ser dada por:

CONT15

Ou, em termos do estudo de caso que esta sendo realizado:

CONT16

Observe que, neste momento, torna-se possível mudar a localização do polo do sistema de acordo com a variação do valor do ganho proporcional. A figura 5 ilustra o comportamento dos polos do sistema em questão de acordo com a variação do ganho Kp .

(OBS: Neste artigo estão sendo empregados apenas valores de Kp positivos por questão de simplicidade do aprendizado).

Lugar geométrico das raízes.
Figura 5 - Lugar geométrico das raízes.

Observe que conforme Kp é incrementado, o polo do sistema é deslocado para a esquerda, de modo que, para Kp=10, o mesmo permanece sobre a origem. Ao passo que para Kp=20, o polo em questão pode ser localizado em -10, ou seja, na posição 10 do semi-plano esquerdo do plano complexo.

A figura 6 mostra o comportamento da resposta do sistema para alguns valores de Kp, observe que para este sistema, quanto maior for Kp, mais a resposta vai adquirindo uma característica menos instável (para kp = 9, pode-se notar uma certa tendência à linearidade).

Sistema rumo à estabilidade.
Figura 6 - Sistema rumo à estabilidade.

Constata-se que:

  • Para Kp = 10, o polo que em malha aberta estava em 10, passa a ficar sobre a origem e o sistema passa a ser um integrador (ver figura 7);
  • Para Kp = 20, o mesmo polo passa a residir sobre -10, caracterizando um sistema estável (ver figura 7).

A conclusão que pode ser tirada desta situação é que é possível utilizar um controlador proporcional para estabilizar um determinado sistema que uma vez era instável, conforme a figura 7.

Demonstração da variação das respostas conforme o ganho proporcional.
Figura 7 - Demonstração da variação das respostas conforme o ganho proporcional.

Agora serão analisados outros aspectos resultantes da aplicação de um controlador proporcional. Para isso, deve-se prestar um pouco de atenção na segunda representação de um sistema de primeira ordem (também conhecida como forma padrão) apresentada no início deste tópico.

CONT20

Deste modelo, pode-se tirar duas informações muito importantes e que só fazem sentido ao serem aplicados em um sistema estável. Portanto, para o sistema original, com o polo localizado no lado direito do semi-plano complexo, estes conceitos não fazem o menor sentido.

CONT22

A primeira delas diz respeito à velocidade da resposta do sistema, isto é, à constante de tempo. No estudo de caso que está sendo desenvolvido neste artigo, já foi constatado que o controlador proporcional altera a localização dos polos em malha fechada. Consequentemente, este também altera a constante de tempo do sistema. Quando um determinado sistema de primeira ordem é estável, a constante de tempo do mesmo em malha aberta é dada pelo valor inverso do módulo da localização do polo, porém, ao fechar a malha do sistema citado, a constante de tempo passa a ser o resultado da razão 1/(kp - 10).

Pode-se observar na figura 8, que para maiores valores de Kp, as respostas atingem o regime permanente de maneira mais rápida, justamente por conta da diminuição da constante de tempo. 

Respostas ao degrau para diversos valores de Kp
Figura 8 - Respostas ao degrau para diversos valores de Kp

A segunda informação importante diz respeito ao ganho de frequência zero ou ganho de regime permanente. Na função de transferência de malha aberta de um sistema de primeira ordem estável, pode-se perceber que o ganho de frequência zero ou ganho de regime permanente resume-se ao valor inverso do módulo da localização do polo, multiplicado por algum eventual ganho já existente.

Entretanto, como mostrado anteriormente, o ganho citado para o sistema em malha fechada consiste na razão Kp/(Kp - 10). Desta forma, quanto maior for o ganho proporcional Kp, menor será o ganho de regime permanente (ou de frequência zero), já que o numerador da parcela referente ao mesmo sempre será maior do que o denominador da mesma. Isto pode ser facilmente notado na figura 8, onde os maiores valores de Kp estão relacionados às respostas cujas amplitudes em regime permanente são as menores encontradas. Ou seja, pode-se constatar que o erro estacionário, isto é, o desvio entre o sinal de entrada e o de saída, em regime permanente, diminui. 

Esperamos que você tenha gostado deste conteúdo, sinta-se à vontade para nos dar sugestões, críticas ou elogios. Na próxima parte, abordaremos o uso de um controlador proporcional em sistemas de segunda ordem. Deixe seu comentário abaixo!

Outros artigos da série

Controlador proporcional em sistemas de segunda ordem >>
Licença Creative Commons Esta obra está licenciada com uma Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional.

Receba os melhores conteúdos sobre sistemas eletrônicos embarcados, dicas, tutoriais e promoções.

Conceito de Engenharia » Controlador proporcional
Comentários:
Notificações
Notificar
guest
8 Comentários
recentes
antigos mais votados
Inline Feedbacks
View all comments
Thiago Lechner
Thiago Lechner
31/12/2018 15:34

Ótimo conteúdo! Uma dica, ao apresentar a Figura 8, poderia ter mostrado também a amplitude do sinal de entrada para deixar mais claro a influência de Kp no ERP.
Abraço.

Paulo Henrique Santos das Mercês
Paulo Mercês
12/04/2017 16:21

Daniel, é um excelente artigo! Gostei mto, gostaria somente de sinalizar um pequeno erro na imagem 7, o polo de malha aberta está em -10 enquanto o polo do k=20 está como 10, receio que seria o contrario! Obrigado

Thiago Moreira
Thiago Moreira
10/02/2017 17:39

Li o Ogata e não encontrei uma explicação tão aprofundada e clara ao mesmo tempo de que pra que serve o controlador proporcional. Sensacional esse artigo. Só tenho uma pergunta: No exemplo dado acima(sistema de 1º ordem) quanto maior o Kp, maior o erro estacionário ou o contrário?

Vagner Rodrigues
Vagner Rodrigues
26/07/2016 19:09

Muito bom, Daniel! Me vejo lendo isso e lembrando da época que estudava
sistema de controle. Muito didático para relembrar quem não atua mais na
área. Um abraço!

Daniel Madeira
Daniel Madeira
Reply to  Vagner Rodrigues
27/07/2016 15:08

Muito obrigado pelas palavras Vagner! É bom saber que gostou da nossa abordagem, estamos trabalhando para passar o conteúdo de uma maneira que todos possam entender.
Um abraço!

Jorge Oliveira
Jorge Oliveira
20/07/2016 13:22

Excelente explicação. Relembrando os conceitos estudados na época de faculdade!!

Daniel Madeira
Daniel Madeira
Reply to  Jorge Oliveira
21/07/2016 11:44

Obrigado Jorge, continue acompanhando nossas publicações!

Talvez você goste:

Séries



Outros da Série

Menu

WEBINAR
 
Sensores e soluções para aplicações em indústria inteligente

Data: 13/08 às 15:00h - Apoio: STMicroelectronics
 
INSCREVA-SE AGORA »



 
close-link