Controlador proporcional em regimes transitórios

Qual é o objetivo deste artigo?

 

Este artigo visa dar continuidade ao material referente ao uso controladores (ou compensadores) em sistemas de controle, abrangendo de maneira mais aprofundada a influência do controlador proporcional em sistemas de segunda ordem subamortecidos (em regimes transitórios). É imprescindível recomendar ao leitor que não deixe de estudar nossos artigos anteriores para poder estar a par de todo o conteúdo proposto.

 

 

Uma breve revisão sobre sistemas de segunda ordem subamortecidos

 

Os sistemas subamortecidos são aqueles que possuem um par de polos complexos conjugados com parte real negativa, que, por sua vez, dão uma característica oscilatória à resposta do sistema devido à existência de componentes oscilatórias (seno e/ou cosseno) amortecidas (por exponenciais decrescentes), presentes na mesma.

 

Sabe-se que um sistema de segunda ordem possui uma função de transferência do tipo:

 

CONT31

 

Conforme explicitado no artigo anterior, é possível colocar esta função de transferência em duas formas padrão que visam facilitar o entendimento do sistema através da utilização de parâmetros específicos, que, por sua vez, dão sentido físico à matemática envolvida. Estas são:

 

CONT59

 

Significado dos parâmetros da equação característica do sistema

 

Neste momento serão mostrados para o leitor os significados dos parâmetros anteriormente apresentados, porém, antes de prosseguir, deve-se introduzir mais um parâmetro fundamental na compreensão da dinâmica dos sistemas. Lembre-se que as raízes de um sistema de segunda ordem são dadas por:

 

CONT34

 

Observe que, para um sistema subamortecido, tem-se raízes complexas, logo, o argumento sob a raiz deve ser negativo. Portanto, as raízes do mesmo são definidas da seguinte maneira:

 

CONT60

Porém, o módulo da parte imaginária é chamado de:

 

Sendo assim, para um sistema subamortecido, pode-se definir os parâmetros citados conforme a figura 1.

 

Parâmetros do sistema subamortecido
Figura 1 - Parâmetros do sistema

 

  • A Frequência natural não amortecida (wn) corresponde numericamente à distância entre a origem do plano complexo e qualquer um dos polos (já que são complexos conjugados);
  • A frequência natural amortecida (wd) corresponde numericamente ao módulo da parte imaginária dos polos;
  • A constante de atenuação corresponde numericamente ao módulo da parte real dos polos;
  • O coeficiente de amortecimento corresponde ao cosseno do ângulo formado pela frequência natural não amortecida e a constante de atenuação.

 

 

Efeitos da ação do controlador proporcional no sistema subamortecido

 

Neste momento, será mostrado para o leitor quais são as alterações que um controlador proporcional pode provocar em um sistema subamortecido. A figura 2 mostra a variação da posição dos polos do sistema apresentado no artigo anterior, conforme o aumento do ganho proporcional.

 

Localização dos polos do sistema.
Figura 2 - Localização dos polos do sistema.

 

Observe que, para valores maiores do que 36, o ganho proporcional Kp faz com que os polos complexos se afastem cada vez mais do eixo real, de modo que, o valor de wd (Frequência natural amortecida) aumenta juntamente com o ganho citado (lembre-se que wd é o módulo da parte imaginária dos polos conjugados) e o coeficiente de amortecimento diminui (este parâmetro é o cosseno do ângulo entre wn e a parte real do polo, logo, quanto maior o ângulo, menor é o cosseno do mesmo para um intervalo de 0 a 90 graus), dando à resposta um caráter mais oscilatório, ou, em outras palavras, menos amortecido.

 

 Influência do coeficiente de amortecimento nas respostas do sistema
Figura 3 - Influência do coeficiente de amortecimento nas respostas do sistema

 

 

Parâmetros de desempenho de um sistema de segunda ordem subamortecido

 

A este tipo de resposta, estão associadas definições de vários parâmetros que são muito utilizados como especificações dos critérios de desempenho dos sistemas de controle. A figura 4 traz um panorama ilustrativo destes e após a mesma será realizada a descrição de cada um dos elementos citados.

 

Parâmetros de desempenho do sistema.
Figura 4 - Parâmetros de desempenho do sistema.

 

Tempo de subida: O tempo de subida é o intervalo de tempo em que o sinal evolui de 10% a 90% do valor de regime permanente. Algumas literaturas adotam estes índices de 5% a 95% do valor citados e, em alguns casos, até de 0 a 100%.

 

Máximo sobressinal: Este parâmetro também é muito conhecido pela sua nomenclatura em inglês, dada por Overshoot, que por sua vez, é a diferença entre o máximo valor alcançado pela resposta do sistema e o valor final da resposta (valor de regime permanente). O overshoot é geralmente apresentado em valor relativo e pode ser calculado por:

 

CONT10

 

Observe que este valor calculado, é o excedente em porcentagem do valor em regime permanente. É de extrema importância para o leitor saber que também é possível obter o valor do overshoot com base nos parâmetros da equação característica do sistema:

 

CONT11

 

Instante de pico: Este é justamente o tempo que decorre até o primeiro valor de pico, ou seja, o máximo sobressinal ou overshoot da resposta.

  CONT12

 

Na figura 5 estão presentes as mesmas curvas da figura 4, sendo assim, pode-se perceber que para um maior valor de Kp, ocorre uma diminuição do erro estacionário. Muito embora, este fato venha a acarretar um aumento no overshoot da resposta, além de fazer com que este aconteça mais rapidamente (tempo de pico menor), o que caracteriza uma ação de controle mais violenta.

 

Análise do overshoot e do tempo de pico das respostas do sistema.
Figura 5 - Análise do overshoot e do tempo de pico das respostas do sistema.

 

Tempo de acomodação: Este parâmetro refere-se ao tempo necessário para que a resposta do sistema se estabilize dentro de um intervalo percentual do seu valor em regime permanente.

 

Existem três porcentagens de tolerância que são comumente mais utilizadas: 1%, 2% e mesmo 5%, no entanto, entre estas, a de 2% é a mais encontrada. Para que um sistema de segunda ordem subamortecido se estabilize dentro de uma faixa de 2%, pode-se considerar um tempo de acomodação equivalente a 4 constantes de tempo, logo:

 

 

Esperamos que você tenha gostado deste conteúdo, sinta-se à vontade para nos dar sugestões, críticas ou elogios. Na próxima parte, será abordada a elaboração do controlador proporcional utilizando componentes eletrônicos.

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Sou engenheiro eletricista graduado com ênfase em Controle e Automação pela Universidade Federal do Espírito Santo - UFES e Técnico em Eletrotécnica pelo Instituto Federal do Espírito Santo - IFES. Me interesso por todas as vertentes existentes dentro da Engenharia Elétrica, no entanto, as áreas relacionadas à automação e instrumentação industrial possuem um significado especial para mim, assim como a Engenharia de Manutenção que na minha opinião é um setor fascinante.