Implementando um controlador proporcional eletrônico

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Qual é o objetivo deste artigo?

 

Este artigo visa dar continuidade ao material referente ao uso controladores (ou compensadores) em sistemas de controle, abrangendo de maneira mais aprofundada a implementação de projetos envolvendo um controlador proporcional eletrônico, utilizando apenas componentes eletrônicos. É imprescindível recomendar ao leitor que não deixe de estudar nossos artigos anteriores para poder estar à par de todo o conteúdo proposto.

 

 

Sistema de controle em malha aberta

 

O sistema que será utilizado como exemplo para ilustrar a implementação de um controlador proporcional eletrônico será composto por um circuito dotado apenas de dois resistores e um capacitor, como pode observado na figura 1.

 

Sistema de controle.
Figura 1 - Sistema de controle.

 

Para analisar o comportamento deste sistema, deve-se obter a função de transferência do mesmo. Sendo assim, o sistema apresentado pode ser descrito no domínio da frequência, conforme a figura 2.

 

Sistema de controle no domínio da frequência.
Figura 2 - Sistema de controle no domínio da frequência.

 

Desta maneira, definindo as impedâncias como:

 

CONT23

 

Aplicando um divisor de tensão para a obtenção de Vs(s), tem-se:

 

CONT24

 

Utilizando uma resistência de 10KΩ para os resistores R1 e R2 e uma capacitância de 25μF para o capacitor existente, pode-se escrever a função de transferência da seguinte maneira:

 

CONT25

 

Como o leitor pode observar, este é um sistema de primeira ordem em malha aberta, ou seja, possui apenas um polo em sua função de transferência, localizado em -8. Portanto, é possível dizer que o sistema em questão é estável em malha aberta. A figura 3 mostra o comportamento do sistema para um degrau de tensão unitário aplicado na entrada do mesmo. Apenas a título de observação, as simulações do circuito foram realizadas no software Proteus/ISIS.

 

Resposta do sistema ao degrau.
Figura 3 - Resposta do sistema ao degrau.

 

 

Sistema de controle em malha fechada

 

Neste momento, fecha-se a malha do sistema de controle, utilizando um controlador proporcional antecedendo o mesmo, no ramo direto. A figura 4 ilustra a situação descrita anteriormente.

 

Sistema em malha fechada.
Figura 4 - Sistema em malha fechada.

 

Desta maneira, a função de transferência de malha fechada do sistema passa a ser dada por:

 

CONT27

 

Observe que o polo do sistema (anteriormente localizado em -8), passa estar sobre o eixo real, no ponto -(20+10Kp)/2.5. Em outras palavras, conforme o ganho proporcional é aumentado, o polo vai sendo deslocado para a esquerda, portanto, seu módulo é cada vez maior, tornando o sistema mais rápido em virtude da diminuição da constante de tempo (caso o leitor não entenda estas referências, favor consultar nossos artigos anteriores). 

 

Comportamento das raízes do sistema.
Figura 5 - Comportamento das raízes do sistema.

 

 

Implementação do circuito

 

Após a compreensão do funcionamento do sistema de controle utilizado, pode-se partir para a implementação dos elementos restantes necessários para realizar o fechamento da malha, ou seja, o controlador e o somador para efetuar a comparação da referência com o erro.

 

Primeiro passo: Implementação do controlador proporcional

 

Para implementar o controlador proporcional, recorreu-se ao uso dos amplificadores operacionais em configurações diversas, onde a primeira delas, é um circuito inversor, formado por um dos amplificadores citados e dois resistores, apresentado na figura 6.

 

Amplificador inversor.
Figura 6 - Amplificador inversor.

 

Uma das definições adotadas para amplificadores operacionais ideais, diz respeito à igualdade das tensões existentes nas entradas inversora e não inversora.

 CONT3

 

Um outro ponto que deve ser ressaltado é a impedância de entrada bastante elevada dos amplificadores operacionais. Sendo assim, no modelo apresentado, toda corrente de entrada é conduzida pelo ramo de realimentação. Logo:

 

CONT4

 

Portanto, pode-se analisar as correntes do circuito da seguinte maneira:

 

 

Observe que este circuito fornece uma saída igual à entrada, porém amplificada (ou reduzida) de um valor R2/R1. Além disso, perceba que esta saída apresenta um ganho negativo, ou seja, está em oposição de fase em relação ao sinal de entrada aplicado no amplificador operacional. A figura 7 mostra os sinais, aplicado e resultante com R1 = R2 (ganho unitário).

 

 Resposta do circuito amplificador inversor.
Figura 7 - Resposta do circuito amplificador inversor.

 

Como à priori deseja-se trabalhar com valores positivos para o ganho proporcional, pode-se associar dois circuitos amplificadores inversores em série, de modo que os valores dos resistores definem o ganho Kp.

 

Controlador proporcional
Figura 8 - Controlador proporcional

 

A figura 9 ilustra os sinais aplicado V1(t), invertido V2(t) e amplificado não-invertido V3(t), para associação apresentada na figura 8, onde a razão R2/R1 = 1 e a razão R4/R3 = 2.

 

Resposta do controlador Kp.
Figura 9 - Resposta do controlador Kp.

 

Segundo passo: Implementação do circuito subtrator (realimentação)

 

Assim como foi elaborado o circuito inversor utilizando amplificador operacional para implementar o controlador proporcional, deve-se também criar um circuito para realizar a comparação entre o sinal de referência e o sinal de saída vigente, este é chamado de circuito subtrator.

 

Circuito subtrator.
Figura 10 - Circuito subtrator.

 

Através de um procedimento análogo ao que foi utilizado no circuito inversor, deve-se deduzir a função de transferência do circuito subtrator para ilustrar de maneira mais didática o seu modo de funcionamento. Portanto, admitindo a igualdade entre as tensões nas entradas do amplificador e a elevada impedância de entrada, pode-se dizer que:

 

CONT32

 

Desta maneira, pode-se chegar à seguinte conclusão:

 

CONT33

 

Terceiro passo: Fechamento da malha

 

Agora, todos os elementos descritos serão unidos para que seja possível realizar o controle do sistema em malha fechada, utilizando o controlador proporcional. Seguem algumas observações que devem ser feitas em relação à figura 11:

 

  • A parte responsável por somar o erro com a referência (foi utilizado um circuito subtrator por conta da realimentação ser negativa, porém a nomenclatura para este elemento, na representação da figura 4, é geralmente dada como somador, em grande parte das literaturas) é dotada de quatro resistores iguais, realizando portanto a operação r(t) - Vs(t) sem amplificação alguma;

 

  • O primeiro estágio do controlador proporcional possui resistores iguais, simplesmente para inverter o sinal de entrada no estágio seguinte, sem que ocorra amplificação do sinal;

 

  • O segundo estágio do controlador proporcional possui um resistor de 10K e outro resistor variável RKp para que o ganho proporcional possa ser dado por Kp = RKp/10K.

 

Sistema em malha fechada implementado.
Figura 11 - Sistema em malha fechada implementado.

 

Na figura 12 pode-se observar o comportamento da saída do sistema simulado. Como esperado, o sistema em malha fechada possui um comportamento mais rápido do que o mesmo em malha aberta (constante de tempo diminui conforme o ganho proporcional é inserido e/ou aumentado) e o erro estacionário. Isto é, o desvio entre a entrada (saída desejada) e a saída vigente é reduzido ao mesmo tempo em que o o ganho Kp é incrementado.

 

Resultado da simulação.
Figura 12 - Resultado da simulação.

 

Esperamos que você tenha gostado deste conteúdo! Sinta-se à vontade para nos dar sugestões, críticas ou elogios. Na próxima parte, abordaremos o uso de um controlador integral em sistemas de controle. Deixe seu comentário abaixo!

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Daniel Madeira
Sou engenheiro eletricista graduado com ênfase em Controle e Automação pela Universidade Federal do Espírito Santo - UFES e Técnico em Eletrotécnica pelo Instituto Federal do Espírito Santo - IFES. Me interesso por todas as vertentes existentes dentro da Engenharia Elétrica, no entanto, as áreas relacionadas à automação e instrumentação industrial possuem um significado especial para mim, assim como a Engenharia de Manutenção que na minha opinião é um setor fascinante.

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