Conceito de amostragem em controle digital de sistemas dinâmicos

Este post faz parte da série Controle digital de sistemas dinâmicos. Leia também os outros posts da série:

Qual é o objetivo deste artigo?

 

No artigo anterior, introduziu-se o conceito de controle digital, juntamente com uma breve discussão, cuja intenção consistiu em demonstrar quais são os elementos responsáveis por compor a estrutura deste tipo de controle. Além disso, comentou-se a respeito do tipo dos sinais existentes em uma malha em que a estratégia de controle digital é empregada e ainda foram salientados os pontos onde estes comumente ocorrem. 

 

Nesta publicação, pretende-se relembrar alguns conceitos matemáticos relacionados com a manipulação de sinais, além de dar início ao conteúdo referente ao processamento dos sinais, para que possam ser utilizados pelo controlador visando a realização das ações de controle necessárias para garantir o funcionamento desejado do sistema. Sendo assim, o primeiro tema que será abordado neste contexto diz respeito à amostragem dos sinais. 

 

 

A malha de controle digital

 

Um conhecimento básico que deve fazer parte do entendimento do leitor no que diz respeito à teoria de controle de sistemas dinâmicos é o conceito de sistema realimentado, que, por sua vez, pode ser considerado o centro deste campo de estudo. Basicamente, um sistema deste tipo pode ser dividido em três partes:

  • O sistema a ser controlado (geralmente este consiste em uma planta ou processo);
  • um controlador (elemento que será abordado com maior ênfase nesta série) e;
  • um ramo de realimentação, conforme a figura 1.

 

Malha de controle.
Figura 1 - Malha de controle.

 

Como todo controlador existente em um sistema de controle, um controlador digital tem como finalidade atuar sobre o desempenho do sistema (caracterizado por uma planta ou um processo), que por sua vez é considerado na grande maioria dos casos como um componente fixo da malha de controle. Ou seja, que não possui a flexibilidade necessária para ser alterado, visando garantir a estabilidade, precisão e agilidade, requeridas pelo projetista.

 

Como foi dito no artigo anterior, os sistemas de controle digitais operam parcialmente na região de tempos discretos (já que o controlador é um sistema digital) e parcialmente sob o regime tempo contínuo (em virtude do comportamento da grande maioria dos processos poder ser descrita por um conjunto de equações diferenciais, caracterizando os mesmos como sendo de natureza contínua, geralmente presentes na entrada do controlador e na saída do mesmo). Desta maneira mostrou-se a necessidade da utilização de conversores de sinal para que a adequação dos mesmos aos elementos da malha seja realizada, conforme demonstrado na figura 2.

 

Componentes do controlador digital.
Figura 2 - Componentes do controlador digital.

 

O mecanismo de amostragem ideal

 

Sabe-se que o sinal de entrada do controlador digital é o sinal do erro atuante e que o mesmo, na grande maioria das vezes, é um sinal contínuo. Portanto, deve ser alterado de modo a estar em uma forma conveniente para poder ser interpretado pelo controlador digital. O primeiro passo desta transformação consiste em um processo chamado amostragem, que consiste basicamente em obter uma sequência de valores assumidos por um sinal continuo no tempo em instantes distintos.

 

Amostragem do sinal.
Figura 3 - Amostragem do sinal.

 

Sendo x(t) um sinal contínuo no tempo, pode-se, por exemplo, entender que x(a) , x(b) e x(c) correspondem aos valores da função x(t) nos instantes t = a, t = b e t = c, onde a, b e c são apenas valores utilizados com o intuito de saber o comportamento da função x(t) nos mesmos. Entretanto, quando fala-se de amostragem, utiliza-se uma constante T, conhecida como período de amostragem, cujo propósito consiste em obter os valores de uma função em intervalos iguais e pré-definidos, ou seja, x(T) corresponde ao valor da função x(t) com t = T, assim como x(2T) corresponde ao valor da função x(t) para t = 2T e assim por diante. 

 

Desta maneira, nota-se que os valores escolhidos para amostragem podem ser designados por x(kT).

 

Amostragem - Sinal Amostrado.
Figura 4 - Sinal Amostrado.

 

Sendo assim, apresenta-se o conceito matemático do processo de amostragem ideal, onde x*(t) representa o sinal x(t) amostrado.

 

CONT179

 

Esta equação trata o sinal amostrado como um somatório de uma série de valores igualmente espaçados, por exemplo:

 

  • Para o valor de k = 0, o resultado do argumento do somatório é x(0T)δ(t - 0T) que pode ser simplificado para x(0)δ(t), onde x(0) é o valor da função no instante 0δ(t) corresponde ao impulso unitário em t = 0 (utilizado para fixar o valor de x(0) no instante t = 0, já que, caso o impulso unitário não estivesse presente no somatório, o resultado do mesmo será apenas uma soma de valores numéricos, ou seja, os valores não estariam ligados a uma representação gráfica no tempo).

 

  • Da mesma forma, para o valor de k = 1, o resultado do argumento do somatório é x(T)δ(t - T), onde x(T) é o valor da função depois de passados T unidades de tempo, a partir do instante inicial (t = 0) e δ(t - T) corresponde ao impulso unitário deslocado de 0 (onde a função é definida como não nula) para o instante t = T, também utilizado para que o valor de x(T) esteja definido apenas para o instante de tempo t = T.

 

Desta maneira, variando-se o valor de k, pode-se representar graficamente o sinal x*(t), isto é, o resultado da amostragem do sinal x(t). Em um diagrama de blocos (conforme será apresentado posteriormente), representa-se um amostrador ideal de acordo com a figura 5.

 

Amostrador ideal.
Figura 5 - Amostrador ideal.

 

Observe que o sinal amostrado x*(t) também pode ser representado no domínio da frequência, bastando para isso fazer a seguinte correspondência:

 

cont204

 

Desta maneira, pode-se apresentar o sinal amostrado X*(s) conforme a equação abaixo.

 

cont205

 

 

Nos próximos artigos...

 

A intenção da construção desta série consiste em produzir um material de fácil entendimento e que possa ser aproveitado para auxiliar na compreensão dos fenômenos existentes em malhas de controle que envolvem um controlador digital. Portanto pretende-se apresentar conceitos teóricos de maneira bastante clara e propor alguma reprodução prática, quando possível. No próximo artigo, mostraremos como ocorre o processo real de amostragem.

 

Esperamos que você tenha gostado deste conteúdo, sinta-se à vontade para nos dar sugestões, críticas ou elogios. Deixe seu comentário abaixo.

 

 

Referências

 

MAYA, Paulo Alvaro, LEONARDI, Fabrizio. Controle Essencial. Editora Prentice Hall

 

OGATA, Katsuhiko. Discrete-time Control Systems. Editora Prentice Hall, 2ª Edição

 

CASTRUCCI, Plínio, SALES, Roberto Moura. Controle Digital.Editora Edgard Blucher LTDA

 

NISE, Norman. Control Systems Engineering. Editora LTC, 6ª Edição

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Sou engenheiro eletricista graduado com ênfase em Controle e Automação pela Universidade Federal do Espírito Santo - UFES e Técnico em Eletrotécnica pelo Instituto Federal do Espírito Santo - IFES. Me interesso por todas as vertentes existentes dentro da Engenharia Elétrica, no entanto, as áreas relacionadas à automação e instrumentação industrial possuem um significado especial para mim, assim como a Engenharia de Manutenção que na minha opinião é um setor fascinante.

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4 Comentários em "Conceito de amostragem em controle digital de sistemas dinâmicos"

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pacbruno61
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pacbruno61

Daniel, Parabéns pelo excelente material!
Só gostaria de acrescentar que o sinal contínuo no tempo, ao ser amostrado, tem os limites do somatório da convolução com o impulso deslocado desde (menos infinito) até (mais infinito)!

Edinei Legaspe
Visitante
Edinei Legaspe

Na figura 2 Acredito que o a/d devia estar na retroalimentação. E não no ramo superior.
Desta forma a entrada tem que ser analógica., e não faz sentido isso.

Num controlador digital a entrada ou setpoint normalmente é digital.....

Abraços

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